マセマティカ エテルナ
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概要

正規行列とエルミート行列の固有値の加重和の特性と境界

ヨルマ・K・メリコスキー、ラビンダー・クマール、

A ∈ C n×n を固有値 λ1, . . . , λn を持つ正規分布とし、t1, . . . , tn ∈ C とします。max π∈Sn |t1λπ(1) + · · · + tnλπ(n) | = max n |t1u ∗ 1Au1 + · · · + tnu ∗ nAun| {u1, . . . , un} ⊂o C no が成り立つことはよく知られています。ここで Sn は位数 n の対称群を表し、⊂o は「... の正規直交部分集合である」ことを意味します。A がエルミートかつ λ1 ≥ · · · ≥ λn であり、t1, . . . , tn ∈ R が t1 ≥ · · · ≥ tn を満たす場合、 t1λ1 + · · · + tnλn = maxn t1u ∗ 1Au1 + · · · + tnu ∗ nAun | {u1, . . . , un} ⊂o C no かつ tnλ1 + · · · + t1λn = min n t1u ∗ 1Au1 + · · · + tnu ∗ nAun | {u1, . . . , un} ⊂o C no となります。 u1, . . . , un を適切に選択することにより、これらすべての方程式の左辺に対する境界を示します。