マセマティカ エテルナ
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概要

ファインマンパラメータ化によるフルヴィッツゼータ関数の積の積分とリーマンゼータ関数の2つの二重和

MAシュポットとRBパリ

関数 ζ1(a, x) ≡ ζ(a, x) − x −a の積を含む x ∈ [0, 1] 上の 2 つの積分について考える。ここで ζ(a, x) はフルビッツのゼータ関数であり、ℜ(a, b) > 1 のとき Z 1 0 ζ1(a, x)ζ1(b, x) dx および Z 1 0 ζ1(a, x)ζ1(b, 1 − x) dx で与えられる。これらの積分は最近 [23] で研究されているが、ここではファインマンのパラメータ化を適用した別の導出を提供する。また、モーメント積分と、リーマンのゼータ関数 ζ(x) と 2 つの自由パラメータ a および b を含む 2 つの二重無限和の評価についても説明する。a + b が整数値を取るときのこれらの和の極限形式について考える。