マセマティカ エテルナ
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概要

リーマンゼータ関数の有理数と一般調和数における値の関係について

パヴェエJ. シャベオフスキ

オイラー級数変換を用いて、引数の整数値および有理値におけるフルビッツゼータ関数 (s; t) の値を、一般化調和数が現れる特定の急速に収束する級数に関連付ける。本論文の結果のほとんどは、荒川-金子ゼータ関数の特性に関する最近のより進んだ結果から導くことができる。我々は、単純な再帰を解くことによって、結果を直接導く。上述の一般化調和数の形は、フルビッツ関数の引数の値に関する情報を伝える。特に、以下を証明する: 8k 2 N : (k; 1) = (k) = 2 k1 2 k11 P1 n=1 H (k1) n n2n ; ここで、H (k) n は一般化調和数が以下のように定義される、または K = P1 n=0 n!(H2n+1Hn=2) 2(2n+1)!! ;ここで、Kはカラタン定数、Hnはn次（通常）調和数を表す。さらに、数の生成関数^(k) = P1 j=1(1)j1=jk、k 2 N、^(0) = 1=2はB(1=2; 1 y; 1 + y)に等しいことを示す。ここで、B(x; a; b)は不完全ベータを表す。