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概要

デルタ関数と関数[coshâˆ'1 + (x + 1)]rの分布のニュートリクス合成について

ファトマ・アル・シレヒ

F を D′ 内の超関数とし、f を局所的に加算可能な関数とする。F と f の合成 F(f(x))) が存在し、超関数 h(x) に等しいとするには、数列 {Fn(f(x))} のニュートリクス極限が h(x) に等しい必要がある。ここで、Fn(x) = F(x) ∗ δn(x) で、n = 1, 2, . . . であり、{δn(x)} はディラックのデルタ関数 δ(x) に収束する無限微分可能関数の特定の数列である。関数 cosh−1 + (x + 1) は、cosh−1 + (x + 1) = H(x) cosh−1 (|x| + 1) で定義される。ここで、H(x) はヘヴィサイド関数を表す。ニュートリクス合成 δ (s) [cosh−1 + (x + 1)]r が存在し、 δ (s) [cosh−1 + (x + 1)]r = rsX +r−2 k=0 X kj=0 X ji=0 (−1)s+k−js! r2 j+2 kjji × [(j − 2i + 1)rs+r−1 − (j − 2i − 1)rs+r−1 ] (rs + r − 1)! δ (k) (x) であることが証明されています (r, s = 1, 2, . . . .