マセマティカ エテルナ
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概要

一般化対数平均とザイフェルト平均の最適不等式

シャオチン・ガオ、リンリン・ソング、メンナ・ユー

r ∈ R について、2 つの正の数 a と b の一般化対数平均 Lr(a, b) とザイフェルト平均 P(a, b) は、それぞれ a = b に対して Lr(a, b) = a、r 6= 1、r 6= 0、a 6= b に対して Lr(a, b) = [(br − ar )/r(b− a)] 1 r−1、r = 1 かつ a 6= b に対して Lr(a, b) = 1 e ( bbaa ) 1 b−a、r = 0 かつ a 6= b に対して Lr(a, b) = (b − a)/(ln b − ln a)、P(a, b) = (a − b)/(4 arctan pa/b − π) で定義されます。本論文では、a 6= b であるすべての a, b > 0 に対して不等式 Lα(a, b) < P(a, b) (または P(a, b) < Lβ(a, b)) が成立するような最大値 α と最小値 β を見つけます。